20355 - PRECORSO DI MATEMATICA / MATHEMATICS - PREPARATORY COURSE

Una buona familiarità con alcuni argomenti generalmente svolti nei corsi di Matematica di primo livello è fondamentale per una buona comprensione dei contenuti del corso di Matematica Avanzata per l’Economia e le Scienze Sociali. Tali argomenti sono rivisti nel precorso di Matematica sia da un punto di vista teorico sia pratico e applicato, combinando aspetti geometrici ed analitici ad un’interpretazione di carattere economico.

Algebra lineare:

• Spazi euclidei: significato algebrico e geometrico. Vettori in R^n. Operazioni con I vettori. Matrici. Spazi lineari: dipendenza ed indipendenza lineare. Dimensione e base di uno spazio lineare. Esempi. Rette e piani in R^3. Sistemi lineari: struttura delle soluzioni. Funzioni lineari tra spazi euclidei. Teorema di rappresentazione. Autovalori ed autovettori di una trasformazione lineare. Teorema spettrale per matrici simmetriche.

Forme quadratiche:

• Definizione, proprietà e applicazioni. Esempi.

Curve nel piano e nello spazio:

• Rette nello spazio. Rappresentazione parametrica di una traiettoria. Velocità e vettore derivato.

Funzioni di più variabili:

• Curve di livello. Derivate parziali, gradiente. Differenziale. Derivate direzionali. Derivate successive. Derivata di una funzione composta. Matrice hessiana. Funzioni implicite. Teorema delle funzioni implicite (teorema di Dini). Matrice jacobiana (per funzioni a valori vettoriali).

Ottimizzazione per funzioni di più variabili:

• Estremi liberi. Condizioni necessarie del primo ordine: teorema di Fermat. Poliniomio di Taylor di ordine 2. Concavità e convessità. Condizioni sufficienti. Teorema locale-globale. Estremi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Significato dei moltiplicatori.

E. CASTAGNOLI, M. MARINUCCI, E. VIGNA, Principi di Matematica per l’Economia, dispense, versione integrale, 2013.

Deep familiarity with some topics generally carried out in the first-level courses in Mathematics is essential for a good understanding of the contents of the Advanced Mathematics for Economics and Social Sciences Course. These arguments are practically and theoretically reviewed along the Preparatory Course, combining the analytical approach to geometrical aspects and focusing on the economic interpretations.

Linear Algebra:

• Euclidean spaces: geometric and algebraic approaches. Vectors in R^n. Operations with vectors. Matrices. Linear space: linear dependence and linear independence. Dimension and bases of a linear space. Examples. Straight lines and planes in R3. Linear systems: structure of solutions. Linear functions between euclidean spaces. Representation theorem. Eigenvalues and eigenvectors of a linear transformation. Spectral theorem for symmetric matrices.

Quadratic forms:

• Definitions and applications. Examples.

Curves in the plane and in space:

• Straight lines in space. Parametric representation of a trajectory. Speed and tangent vector.

Functions in several variables.

• Level lines and contour map. Partial derivatives, gradient. Tangent plane. Differential.Higher order derivatives. Derivative of a composite function. Hessian matrix. Implicit functions. Implicit function theorem. Jacobian matrix.

Optimization problems:

• Unconstrained optimization. The first-order sufficient conditions. Fermat's theorem. Taylor polynomial of order 2. Concavity and convexity. Second order sufficient conditions. Local-global theorem. Constrained optimization. Lagrange multipliers technique. Meaning of multipliers.

S. CERREIA, M. MARINACCI, E. VIGNA, Principles of Mathematics for Economics, draft version, 2016.