5015 - MATEMATICA GENERALE/MATHEMATICS

Il corso si propone di fornire le nozioni che sono basilari per affrontare altri insegnamenti quantitativi (statistica, matematica per le applicazioni economiche e finanziarie) e che sono utilizzate in molti insegnamenti non strettamente quantitativi (istituzioni di economia, marketing). Inoltre, ambisce a introdurre direttamente i primi modelli di tipo applicativo nonché i primi concetti di calcolo finanziario.

• Funzioni: dominio, codominio, insieme immagine. Funzioni reali di variabile reale e loro rappresentazione grafica. Funzioni limitate: massimo e minimo globale. Funzioni monotone. Cenni sulle funzioni convesse. Intorni e nozione di massimo e minimo locale. 
• Successioni numeriche. Limiti di successioni: successioni convergenti, divergenti, e irregolari. Il numero e. Operazioni con i limiti. Forme di indecisione. Calcolo dei limiti. 
• Limiti per funzioni reali di variabile reale. Calcolo dei limiti. Asintoti verticali e orizzontali. Teoremi sui limiti. Continuita'. Proprieta' delle funzioni continue. 
• Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale. . Elasticita' e semielasticita' puntuali. Formula di Taylor arrestata al primo e al second'ordine. Applicazioni del calcolo differenziale: ricerca di massimi e minimi. Lo studio del grafico di una funzione. 
• Serie numeriche. Carattere di una serie.Serie a termini positivi: criterio del confronto e del confronto asintotico. Serie geometrica. 
• Calcolo integrale. Primitiva di una funzione e metodi di integrazione. Integrale definito. Integrali generalizzati. Funzioni definite da integrali.  
• Vettori e operazioni tra vettori. Dipendenza e indipendenza lineare.  Matrici, operazioni  tra matrici. Matrici quadrate: determinante e matrice inversa. Rango di una matrice. 
• Funzioni lineari. Sistemi lineari e teorema di Rouche'-Capelli. Struttura dell'insieme delle soluzioni. Sistemi quadrati e teorema di Cramer. 
• Applicazioni economiche: determinazione dell'ottimo prezzo di vendita nel caso di monopolio; il modello di Leontief; matrici di transizione; titoli sintetici. 
• Elementi di calcolo finanziario: attualizzazione e capitalizzazione;  regimi finanziari; intensita' istantanea d'interessse; valutazione di progetti finanziari: valore attuale netto e tasso interno.

• L. PECCATI, S. SALSA, A. SQUELLATI, Matematica per l'Economia e l'Azienda, Milano, EGEA, 1999.

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. La prova scritta puo' essere sostenuta attraverso prove intermedie oppure tramite una prova generale.
Informazioni piu' dettagliate verranno rese note presso la bacheca dell'Istituto di Metodi Quantitativi.

This course presents the mathematical concepts which are essential for other quantitative teachings (Statistics, Mathematics of Finance) and helpful for many other disciplines which are not strictly quantitative (Economics, Marketing). It also aims at introducing some mathematical models for Business and Economics, as well as the first notions in Mathematics of Finance. 

• Functions
• Real Functions of a Real Variable, Graphs
• Sequences, Series 
• Limits, Continuity
• Differential Calculus (one variable)
• Applications of Differential Calculus
• Integral Calculus  
• Vectors, Matrices  
• Linear Systems, Linear Functions  
• Mathematical Models for Business and Economics  
• Mathematics of Finance

To be defined.

Students will be asked to take a written examination, followed by an oral examination. The written examination can be substituted with two partial written tests.
Further details on contents and examinations will be given at the beginning of the course.

ll corso si propone di fornire gli strumenti analitici di base per poter affrontare lo studio successivo di altri insegnamenti che ne fanno largo uso. Esso presenta inoltre direttamente i primi modelli applicativi e i fondamenti del calcolo finanziario.

• Funzioni elementari. Rappresentazione grafica uso dei grafici per risolvere semplici equazioni e disequazioni. Concetto di massimo e minimo globale. Monotonia, convessita'.
• Matematica finanziaria. Leggi d'interesse e leggi di sconto. Montante e valore attuale. Pagamento rateale e costituzione di capitale.
• Funzioni reali di variabile reale. Il concetto di limite. Continuita', differenziabilita'. Formula di Taylor. Teorema degli zeri e di Weierstrass. Studio del grafico di una funzione.
• Calcolo integrale. L'integrale definito. Primitive di una funzione.
• Algebra lineare. Vettori e spazi vettoriali dipendenza e indipendenza lineare. Matrici. Rango e determinante. Il teorema di Rouché-Capelli.
• Funzioni di piu' variabili. Continuita' e differenziabilita'. Formula di Taylor. Ottimizzazione libera. Cenni di ottimizzazione vincolata.
•  Applicazioni economiche.

• L. PECCATI, S. SALSA, A. SQUELLATI, Matematica per l'economia e l'azienda, Milano, EGEA, 1999.

L'esame consiste in una prova scritta e in una prova orale. La prova scritta puo' essere sostenuta attraverso prove intermedie ovvero tramite una prova scritta prima dell'orale.
Informazioni piu' dettagliate verranno rese note presso la bacheca dell'Istituto di Metodi Quantitativi.

ll corso, dopo una parte introduttiva dedicata ad alcune nozioni di base, presenta gli strumenti del calcolo (differenziale e integrale) e dell'algebra lineare. La loro padronanza, che il corso si propone di fornire, e' una delle condizioni essenziali per poter affrontare lo studio dei modelli economico-finanziari oggetto di corsi successivi. 

• Elementi di logica Insiemi numerici.
• Successioni numeriche: limite di una successione carattere di una successione il numero e; operazioni con i limiti forme di indecisione calcolo dei limiti.
• Serie numeriche carattere di una serie serie a termini positivi: criterio del confronto, criterio del rapporto serie a termini di segno qualunque e alternato.
• Funzioni rappresentazione grafica composizione di funzioni funzione inversa massimi e minimi globali e locali monotonia cenni alla convessita'.
• Limiti per funzioni calcolo dei limiti continuita' proprieta' delle funzioni continue.
• Derivata e differenziale calcolo delle derivate formula di Taylor: derivate e differenziali successivi applicazioni del calcolo differenziale: ricerca di massimi e minimi liberi grafico di una funzione.
• Calcolo integrale primitiva di una funzione e metodi di integrazione integrale definito integrali generalizzati.
• Vettori e spazi vettoriali dipendenza e indipendenza lineare matrici, operazioni tra matrici matrici quadrate: determinante e matrice inversa rango di una matrice.
• Funzioni lineari: nucleo e immagine sistemi di equazioni lineari e teorema di Rouche'-Capelli sistemi quadrati e Teorema di Cramer.
• Funzioni scalari di vettore: continuita' e derivabilita' derivate parziali e condizione necessaria di estremo locale cenni sulle relazioni tra derivabilita' continuita' e differenziabilita' , Teorema di Dini per funzioni di due variabili.

• L. PECCATI, S. SALSA, A. SQUELLATI, Matematica per l'Economia e l'Azienda, Milano, EGEA, 1999. 

L'esame consiste in una prova scritta e in una prova orale (da sostenere nel medesimo appello).
Sono previste due prove intermedie che sostituiscono la prova scritta e che consentono di sostenere una prova orale qualsiasi nell'arco dell'anno solare.

Il corso si propone di fornire agli studenti gli strumenti analitici di base per affrontare lo studio successivo di altri insegnamenti che ne fanno largo uso. Esso presenta inoltre direttamente i primi modelli applicativi e i fondamenti di calcolo finanziario.

• Successioni numeriche: successioni convergenti, divergenti, irregolari. Il numero e. Operazioni con i limiti. Forme di indecisione. Calcolo dei limiti.  
• Serie numeriche. Carattere di una serie. Criteri di convergenza.
• Funzioni: dominio, codominio, insieme immagine. Funzioni reali di variabile reale e loro rappresentazione grafica. Massimi e minimi. Funzioni monotone. Cenni sulle funzioni convesse.
• Limiti per funzioni reali di variabile reale. Calcolo dei limiti. Asintoti verticali e orizzontali. Teoremi sui limiti. Continuita'. Proprieta' delle funzioni continue.
• Derivate. Calcolo delle derivate. Elasticita'. Derivate successive. Formula di Taylor. Applicazioni del calcolo differenziale: ricerca di massimi e minimi liberi.
• Lo studio del grafico di una funzione.
• Calcolo integrale. Primitiva di una funzione e metodi di integrazione. Integrale definito.
• Vettori e operazioni tra vettori. Dipendenza e indipendenza lineare. Sostegno e base di uno spazio vettoriale. Matrici, operazioni tra matrici. Matrici quadrate: determinante e matrice inversa. Rango di una matrice.
• Funzioni lineari. Sistemi lineari e teorema di Rouche'-Capelli. Struttura dell'insieme delle soluzioni. Sistemi quadrati e Teorema di Cramer.
• Elementi di calcolo finanziario: attualizzazione e capitalizzazione i principali regimi finanziari rimborso graduale di un prestito valutazione di progetti finanziari.

• PECCATI, S. SALSA, A. SQUELLATI, Matematica per l'economia e l'azienda, Milano, EGEA, 1999. 

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale facoltativa. La prova scritta puo' essere sostenuta attraverso due prove intermedie.

Il corso di Matematica generale si propone di fornire gli strumenti  matematici di base (di calcolo differenziale, di algebra lineare, di matematica finanziaria)  per costruire e analizzare modelli di tipo quantitativo, priviliegiando l'aspetto applicativo e l'attivita' di problem solving.
Saranno utilizzati strumenti di calcolo simbolico e di calcolo numerico e in particolare un software di matematica (Mathcad®); sono previste lezioni, esercitazioni e prove di valutazione in aula di informatica. Il corso e' espressamente strutturato in modo che alcune abilita' di calcolo (tradizionalmente svolte con carta e penna) siano delegate al calcolo automatico. Saranno in particolare forniti strumenti e algoritmi per l'approssimazione numerica dei modelli analizzati.
Verra' utilizzata in modo sistematico la piattaforma di e-learninig. 

I semestre

• Successioni di numeri reali e nozione di limite.
• Serie numeriche.
• Funzioni reali: limiti e continuita'.
• Calcolo differenziale: ottimizzazione libera.
• Calcolo integrale.

II semestre

• Algebra lineare: vettori e matrici. Sistemi lineari e funzioni lineari.
• Calcolo differenziale per funzioni in piu' variabili: ottimizzazione libera, ottimizzazione vincolata.
• Sistemi dinamici continui e discreti.
• Matematica Finanziaria.

Esempi di applicazioni e modelli

• La capitalizzazione composta: TIR e VAN di un'operazione finanziaria
• Modelli lineari: il metodo dei minimi quadrati
• Modelli non lineari: regressione potenza e regressione esponenziale
• Interpolazione polinomiale. Le cubic spline
• Piani di ammortamento
• Algoritmo di Newton per la soluzione di equazioni
• Polinomi di Taylor per l'approssimazione di funzioni
• Il modello imput-output di Leontief
• Le catene di Markov
• Un modello demografico: le matrici di Leslie
• Sistemi dinamici: la crescita logistica, il modello preda-predatore
• Sistemi dinamici e frattali: l'insieme di Mandelbrot
• Algoritmo di Eulero per la soluzione di un'equazione differenziale

• L. PECCATI, S. SALSA, A. SQUELLATI, Matematica per l'Economia e l'Azienda, Milano, EGEA, 1999. 

Il corso prevede quattro prove intermedie, di cui due in aula di informatica. Se il totale delle prove intermedie raggiunge un punteggio minimo e' possibile sostenere la prova orale. E' comunque prevista una prova scritta per accedere alla prova orale qualora l'esito delle prove intermedie fosse negativo.

Il corso si propone di fornire gli strumenti analitici di base per poter costruire e utilizzare modelli semplificati della realta' e per poter affrontare lo studio successivo di altri insegnamenti che ne fanno largo uso. 

Prima parte

• Funzioni: dominio, codominio, insieme immagine. Funzioni reali di variabile reale e loro rappresentazione grafica. Funzioni limitate: massimo e minimo assoluto. Funzioni monotone. Cenni sulle funzioni convesse. Intorni e nozione di massimo e minimo locale.  
• Limiti per funzioni reali di variabile reale. Calcolo dei limiti. Asintoti verticali e orizzontali. Teoremi sui limiti. Continuita'. Proprieta' delle funzioni continue.
• Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Derivata e differenziale. Calcolo delle derivate. Elasticita' e semielasticita' puntuali. Formula di Taylor: derivate e differenziali successivi. Applicazioni del calcolo differenziale: ricerca di massimi e minimi. Lo studio del grafico di una funzione.
• Serie numeriche. Carattere di una serie. Serie geometrica. Serie a termini positivi: criterio del rapporto, criterio del rapporto asintotico.

 Seconda parte

• Algebra lineare. Operazioni tra vettori e matrici. Dipendenza e indipendenza lineare. Funzioni lineari da Rn a Rm. Determinante e rango di una matrice. Sistemi lineari.
• Funzioni di due variabili. Curve di livello. Derivate parziali e differenziale. Ottimizzazione libera: condizioni del primo e del secondo ordine. Funzioni implicite.
• Calcolo integrale. Definizione di integrale. Calcolo differenziale e calcolo integrale: teorema fondamentale. Metodi di calcolo delle primitive. integrali generalizzati. Serie e integrali. Funzioni definite da integrali.

• A. GUERRAGGIO, Matematica Generale, Torino, Bollati Boringhieri, 2000.
• M. ROCCA, G. CRESPI, Temi svolti di Matematica Generale, Milano, Datanova, 2001.

L'esame consiste in una prova scritta e in una prova orale (da sostenere nel medesimo appello).
Sono previste quattro prove scritte intermedie che, se superate con esito positivo, sostituiscono l'esame.