Insegnamento a.a. 2008-2009

Obiettivi formativi del corso

Il corso fornisce alcuni strumenti teorici essenziali per l'analisi quantitativa dei mercati finanziari. Si analizzano diversi modelli per la descrizione dell'evoluzione dei prezzi dei titoli. In particolare, si trattano sia modelli nei quali la dinamica dei prezzi evolve in tempo discreto, come nel cosiddetto modello binomiale, sia modelli in tempo continuo, come quello che conduce alla famosa formula di Black-Scholes. L'analisi dei vari modelli è unificata dal fondamentale principio di assenza di opportunità di arbitraggio. Tale approccio consente di ottenere formule per la valutazione e la copertura (pricing and hedging) di vari titoli derivati.

Programma sintetico del corso

• Il modello di mercato finanziario uni periodale: nozioni di base, legge del prezzo unico, arbitraggi, vettori di prezzi degli stati, probabilità neutrali al rischio.
• Il primo teorema fondamentale della finanza.
• Mercati completi e secondo teorema fondamentale della finanza.
• La valutazione neutrale al rischio di derivati.
• Il modello di mercato finanziario multi periodale in tempo discreto. Strutture informative e processi stocastici di prezzi, dividendi e strategie d'investimento.
• Assenza di arbitraggio e proprietà di martingala del processo del guadagno. Completezza dinamica. Valutazione dei derivati in ambito multi periodale.
• Mercati finanziari in tempo continuo: informazione, processi dei prezzi e strategie di investimento. Il moto Browniano e le equazioni differenziali stocastiche.
• Il modello di Black e Scholes: non arbitraggio, completezza e valutazione neutrale al rischio dei derivati europei.  La formula di Black-Scholes.
• L'equazione alle derivate parziali di Black-Scholes
• Il prezzo di mercato del rischio

Descrizione dettagliata delle modalità d'esame

Il voto finale del corso, F, è dato da

F = 0,1 H + 0,9 E

ove:

H è il voto dell'homework

E è il voto nell'esame scritto di fine corso.

L'homework consiste in esercizi sul materiale discusso in classe e può essere svolto in gruppi di al più 5 persone.

L'esame  finale sarà in forma scritta.

Le modalità d'esame sono le stesse per studenti frequentanti e non.

Testi d'esame

A. Battauz e F. Ortu Teoria dell'arbitraggio in tempo discreto e continuo, dispensa EGEA

Prerequisiti

Il corso richiede la conoscenza di strumenti trattati nei corsi di base di matematica e statistica. In particolare, le nozioni elementari di algebra lineare, di media, varianza e distribuzione di probabilità per variabili aleatorie discrete e le proprietà della variabile aleatoria normale (gaussiana). E' altresì auspicabile la conoscenza di elementi di matematica finanziaria quali le leggi di capitalizzazione/attualizzazione dell'interesse semplice, composto ed esponenziale e della struttura a termine dei tassi di interesse in condizioni di certezza.

Course Objectives

This course supplies the students with some fundamental quantitative tools for the analysis of financial markets. We will discuss a set of models that describe the evolution over time of securities' prices. We will deal both with discrete-time models, such as the Binomial Model, and with continuous-time models, such as the Geometric Brownian Motion model that underlies the famous Black-Scholes formula for option pricing. The unifying theme will be the fundamental principle of no-arbitrage. This principle will be the basis of various models for pricing and hedging derivative securities.

Course Content Summary

• The one-period model of financial markets: basic notation and definitions, law of one price, arbitrage, state-price vectors,risk-neutral probabilities.
• The First Fundamental Theorem of Asset Pricing.
• Complete markets and the Second Fundamental Theorem of Asset Pricing.
• Risk-Neutral valuation of derivative securities.
• The multi-period model of financial markets in discrete time. Information structures, stochastic processes, prices and dividend processes, dynamic investment strategies.
• No arbitrage and the martingale property of the discounted gain process. Dynamic completeness. Risk-neutral valuation of derivatives in the multi-period case.
• Continuous-time financial markets: information, continuous-time stochastic processes, price processe and investment strategies. Standard Brownian motions and Stochastic Differential Equations (SDEs).
• The Black-Scholes model: no-arbitrage, completeness e and risk-neutral valuation of european-type derivatives.  The Black-Scholes formula done right!
• The Black-Scholes Partial Differential Equation.
• The market price of risk.

Detailed Description of Assessment Methods

The final grade for the course, F, will be computed according to the following formula:

F = 0,1 H + 0,9 E

where:

H is the mark from an homeworks that you will be required to complete

E is the mark in the final exam

The homework will consist in problems based on the material discussed in class. We strongly encourage you to do the homework in groups (note: no more than 5 people per group are allowed).

The final will be a written exam. The typical exam will consist of four questions, both theory-based (such as definitions or proofs discussed during the course) and of the problem-solving type. The length of the typical exam will be two hours. To pass the course, you need to get a number-grade of at least 16 in the final exam.

The assessment is the same for attending and non attending students.

Textbooks

 A. Battauz e F. Ortu Arbitrage Theory in Discrete and Continuous Time, Lecture Notes EGEA.

Prerequisites

It is assumed that the basics of simple and compounded interest and the term structure of interest rates under certainty, together with all the related applications, are well-known to students. It is also assumed that students master the basics of linear algebra, calculus, and statistics (such as the concepts of mean, variance and distribution of a discrete random variable, and the basic properties of the normal, i.e. Gaussian, distribution).