Insegnamento a.a. 2021-2022

• Il modello di mercato finanziario uni periodale: nozioni di base, legge del prezzo unico, arbitraggi, vettori di prezzi degli stati, probabilità neutrali al rischio.
• Il primo teorema fondamentale della finanza.
• Mercati completi e secondo teorema fondamentale della finanza.
• La valutazione neutrale al rischio di derivati.
• Il modello di mercato finanziario multi periodale in tempo discreto. Strutture informative e processi stocastici di prezzi, dividendi e strategie d’investimento.
• Assenza di arbitraggio e proprietà di martingala del processo del guadagno. Completezza dinamica. Valutazione dei derivati in ambito multi periodale.
• Mercati finanziari in tempo continuo: informazione, processi dei prezzi e strategie di investimento. Il moto Browniano e le equazioni differenziali stocastiche.
• Il modello di Black e Scholes: non arbitraggio, completezza e valutazione neutrale al rischio dei derivati europei. La formula di Black-Scholes.
• L’equazione alle derivate parziali di Black-Scholes. Il prezzo di mercato del rischio.

Illustrare e spiegare:

• Le nozioni di base e le definizione dei modelli di mercato finanziario a tempo discreto: strutture informative e processi stocastici di prezzi, dividendi e strategie d’investimento, legge del prezzo unico, le nozioni di non arbitraggio e delle probabilità neutrali al rischio.
• Il primo teorema fondamentale della finanza.
• La nozione di completezza e il secondo teorema fondamentale della finanza.
• Il legame tra non arbitraggio e la proprietà di martingala del guadagno attualizzato.
• Il principio della valutazione neutrale al rischio di derivati.
• i modelli di mercato a tempo continuo con moto Browniano standard e equazioni differenziali stocastiche.
• le caratteristiche del modello di Black e Scholes, la formula di Black e Scholes e l'equazione alle derivate parziali di Black e Scholes.

Applicare le definizioni e i risultati teorici per:

• analizzare l'assenza di arbitraggio sia nei mercati a tempo discreto che in quelli a tempo continuo;
• calcolare le probabilità neutrali al rischio ed applicarle per valutare l'assenza di arbitraggio;
• esaminare la nozione di completezza di un mercato e connetterla con l'assenza di arbitraggio;
• calcolare i prezzi di non arbitraggio dei titoli derivati;
• calcolare le strategie di copertura dei titoli derivati.

• Lezioni frontali
• Esercitazioni (esercizi, banche dati, software etc.)

Gli esercizi saranno sia integrati nelle lezioni frontali sia, ove possibile, svolti durante esercitazioni dedicate con un TA

Le prove d’esame consistono sia in domande in forma chiusa sia in forma aperta. Entrambi i tipi di domande hanno la finalità di valutare la capacità degli studenti di:

• Analizzare l'assenza di arbitraggio sia nei mercati a tempo discreto che in quelli a tempo continuo.
• Calcolare le probabilità neutrali al rischio ed applicarle per valutare l'assenza di arbitraggio.
• Esaminare la nozione di completezza di un mercato e connetterla con l'assenza di arbitraggio.
• Calcolare i prezzi di non arbitraggio dei titoli derivati.
• Calcolare le strategie di copertura dei titoli derivati.
• Mostrare capacità di comprendere argomenti di teoria discussi in classi quali definizioni, enunciati e dimostrazioni.

Le domande di carattere teorico verteranno su una lista di argomenti che sarà distribuita prima del periodo di esami.

A. BATTAUZ, F. ORTU, Teoria dell’arbitraggio in tempo discreto e continuo, dispensa EGEA, a.a. 2009/10.

• The one-period model of financial markets: basic notation and definitions, law of one price, arbitrage, state-price vectors,risk-neutral probabilities.
• The First Fundamental Theorem of Asset Pricing.
• Complete markets and the Second Fundamental Theorem of Asset Pricing.
• Risk-Neutral valuation of derivative securities.
• The multi-period model of financial markets in discrete time. Information structures, stochastic processes, prices and dividend processes, dynamic investment strategies.
• No arbitrage and the martingale property of the discounted gain process. Dynamic completeness. Risk-neutral valuation of derivatives in the multi-period case.
• Continuous-time financial markets: information, continuous-time stochastic processes, price processe and investment strategies. Standard Brownian motions and Stochastic Differential Equations (SDEs).
• The Black-Scholes model: no-arbitrage, completeness e and risk-neutral valuation of european-type derivatives.The Black-Scholes formula done right.
• The Black-Scholes Partial Differential Equation. The market price of risk.

Illustrate and explain:

• The basic notation and definitions of discrete-time models of financial markets: information structures, stochastic processes, prices and dividend processes, dynamic investment strategies, the law of one price, the notions of no arbitrage and of risk-neutral probabilities.
• The First Fundamental Theorem of Asset Pricing.
• The notion of complete markets and the Second Fundamental Theorem of Asset Pricing.
• The connection between No arbitrage and the martingale property of the discounted gain process.
• The principle of Risk-neutral valuation of derivative securities.
• The modelling of financial markets in continuous-time via Standard Brownian Motions and Stochastic Differential Equations (SDEs).
• The main features of the Black-Scholes model, the Black-Scholes formula and the Black-Scholes Partial Differential Equation.

Apply the definitions and theoretical results to:

• Assess if no arbitrage holds in both discrete and continuos models of financial markets.
• Compute risk-neutral probabilities and employ them to evaluate the absence of arbitrage.
• Examine the compleness of the market and connect it to no arbitrage.
• Compute no arbitrage prices of various examples of derivative securities.
• Compute hedging strategies for various examples of derivative securities.

• Face-to-face lectures
• Exercises (exercises, database, software etc.)

Numerical exercises will be both blended in the face-to-face lectures and, possibly, administered during special TA sessions

Both the partial and the final exams consists of both open and closed questions. The closed questions maybe comprehend both multiple choice and multiple answer questions. More specifically, both open and closed questions will test the students' ability to:

• Assess if no arbitrage holds in both discrete and continuos models of financial markets.
• Compute risk-neutral probabilities and employ them to evaluate the absence of arbitrage.
• Examine the compleness of the market and connect it to no arbitrage.
• Compute no arbitrage prices of various examples of derivative securities.
• Compute hedging strategies for various examples of derivative securities.
• Show the understanding of theoretical aspects discussed in the course, such as definitions, statements and proofs.

The question that tests knowledge of the theoretical aspects discussed in the course will be based on a list of topics that students are responsible to know for the exam. The list will be distributed to the students ahead of the exams.

A. BATTAUZ, F. ORTU, Arbitrage Theory in Discrete and Continuous Time, Lecture Notes EGEA, 2010.