Insegnamento a.a. 2001-2002

Presentazione generale del corso:

Il corso si propone di affrontare alcuni argomenti del Calcolo delle probabilita', la cui conoscenza e' essenziale per affrontare efficacemente lo studio delle moderne teorie probabilistiche, che si incontrano in alcuni corsi avanzati di Statistica, Finanza ed Economia. Particolare attenzione sara' rivolta agli aspetti che sono alla base della teoria dei processi stocastici e del Calcolo stocastico. Il corso sara' corredato di numerosi esempi e applicazioni.

Programma del corso:

Probabilita'.
Eventi e sigma algebre. Sigma algebra di Borel su Rn, su spazi di successioni e su spazi di funzioni. Probabilita'. Indipendenza stocastica. Costruzione di misure di probabilita' sulla sigma algebra di Borel di Rn, su spazi di successioni e su spazi di funzioni. Eventi nulli e quasi certi. Completamento di una sigma-algebra.

Vettori aleatori e processi stocastici.
Definizione. Sigma algebra generata da un elemento aleatorio. Trasformazione di vettori aleatori. Distribuzione di probabilita' di un vettore aleatorio e di un processo stocastico. Famiglie di variabili aleatorie stocasticamente indipendenti.

Speranza matematica di una variabile aleatoria e teoremi di convergenza.
Definizione e proprieta'. Teoremi di convergenza. Spazi Lp. Funzione caratteristica. Varie nozioni di convergenza. Legge dei grandi numeri. Distribuzione normale multivariata. Teorema centrale del limite.

Speranza matematica condizionale
Definizione e proprieta'. Disuguaglianze e teoremi di convergenza. Probabilita' condizionale e versioni regolari. Indipendenza condizionale di sigma algebre. Distribuzioni condizionali. Filtrazioni. Martingale. Tempi d'arresto. Teoremi di campionamento opzionale. Teoremi di convergenza di martingale. Sigma algebra di coda e leggi zero-uno.

Testi d'esame:

• A.F. KARR, Probability, Springer-Verlag, 1993.

Prove d'esame:

Esame in forma orale.