0762 - METODI QUANTITATIVI PER LE SCIENZE SOCIALI

Presentazione generale del corso:

Un fenomeno economico e sociale puo' essere studiato, nella sua evoluzione, o da un punto di vista puramente deterministico o da un punto di vista stocastico. Aderendo al secondo punto di vista, generalmente si assume che la configurazione del fenomeno ad un certo istante determini soltanto una certa probabilita' dell'accadimento di un evento possibile in corrispondenza ad un altro istante successivo al primo. Se tale probabilita' e' assegnata per ogni coppia di istanti e per ogni evento, allora si dice che lo schema adottato e' un processo markoviano.
Il corso e' prevalentemente rivolto allo studio dei processi markoviani e di alcune delle loro piu' significative applicazioni in campo economico e sociale.

Programma del corso:

1.Primi elementi sui processi stocastici.

• Definizioni e generalita'.
• Classificazione dei processi stocastici.

2.Catene di Markov a tempo discreto.

• Introduzione. Definizione e proprieta' di base.
• Rappresentazione mediante uno schema d'urna.
• Esempi di catene di Markov omogenee. (Passeggiate aleatorie. Assicurazioni del rischio. Problema della diga. Rovina del giocatore. Modelli di apprendimento. Modello di Ehrenfest).
• L'equazione di Chapman-Kolmogorov.
• Struttura delle classi.
• Tempi di ingresso e probabilita' di assorbimento.
• Proprieta' markoviana forte.
• Ricorrenza e transitorieta'.
• La distribuzione invariante e convergenza all'equilibrio.
• Reversibilita'.
• Teorema ergodico.

3.Catene di Markov a tempo continuo - I parte

• Le Q-matrici.
• Processi aleatori a tempo continuo.
• Alcune proprieta' della distribuzione esponenziale.
• Il processo di Poisson.
• Processo di pure nascite.
• Tempi di soggiorno e catena dei salti.
• Esplosione.
• Equazioni prospettiche e retrospettiche.

4.Catene di Markov a tempo continuo - II parte

• Struttura delle classi.
• Tempi di ingresso e probabilita' di assorbimento.
• Ricorrenza e transitorieta'.
• Distribuzioni invarianti.
• Convergenza all'equilibrio.
• Reversibilita'.
• Teorema ergodico.

5.Cenni alla teoria delle martingale.

6.Applicazioni delle Catene di Markov

• Catene moltiplicative ed applicazioni alla Biologia.
• Applicazioni alla Genetica.
• Sistemi di file di attesa.
• Catene di Markov e gestione delle risorse.
• Modelli di apprendimento.
• Mobilita' sociale.
• Modello di Leontieff.
• Processi decisionali markoviani.
• Catene di Markov e Metodo Montecarlo.(Applicazioni alla Statistica bayesiana)

7.Processi di rinnovo: cenni.

Testi d'esame:

Durante il corso saranno fornite ampie indicazioni bibliografiche. Per comodita' dello studente segnaliamo i seguenti volumi.

• D. R. COX, H. D. MILLER, The Theory of Stochastic Processes, Chapman and Hall, 1980.
• E. CINLAR, Introduction to Stochastic Processes , Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1975.
• M. JOSIFESCU, Finite Markov Processes and their Applications, J. Wiley, 1980.
• S. KARLIN, H. M. TAYLOR, A first course in Stochastic processes, Academic Press, 1975.

Prove d'esame:

Esame in forma  orale.
Lo studente potra' presentare una tesina in forma scritta su un argomento a scelta.