Insegnamento a.a. 2012-2013

Obiettivi formativi del corso

Il corso si propone di fornire una conoscenza approfondita, sia dal punto di vista concettuale che da quello tecnico, dei principali aspetti dell'inferenza statistica nell’ambito sia della teoria della stima sia di quella dei test d’ipotesi.

Si discutono i criteri di ottimalità delle principali procedure statistiche a partire dalla nozione di verosimiglianza e dalle proprietà tipiche delle statistiche quali la sufficienza, la completezza e l’ancillarità. Le implicazioni di tali concetti sono analizzate sia per campioni di dimensione finita sia in ambito asintotico.

I principi e le tecniche presentate hanno rilevanza nello sviluppo, nell’analisi e nell’interpretazione dei modelli statistici utilizzati in numerosi ambiti (ad esempio nel modello lineare e nelle sue generalizzazioni).

Programma sintetico del corso

• Proprietà e risultati nell’ambito delle variabili aleatorie.
• Statistiche sufficienti, ancillari, e complete.
• Stima puntuale: metodo dei momenti e metodo della massima verosimiglianza. Confronto tra stimatori e risultati di ottimalità (Errore quadratico medio, stimatori a varianza uniformemente minima, informazione di Fisher, funzione di danno).
• Verifica di ipotesi: criteri e costruzione di test ottimali nell’ambito dell’impostazione di Neyman-Pearson (potenza dei test). Test basati sul rapporto dei massimi della verosimiglianza. Il ruolo del p-value e i test di significatività.
• Valutazioni asintotiche: stimatori consistenti e asintoticamente efficienti. Test ed intervalli di confidenza asintotici basati sulla verosimiglianza.
• Cenni di inferenza bayesiana e confronto con l’impostazione classica.

Descrizione dettagliata delle modalità d'esame

Prova scritta generale o, in alternativa, due prove scritte intermedie (una a metà corso, l'altra a fine corso).

Testi d'esame

• N. MUKHOPADHYAY, Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press, 2000 

Ulteriori riferimenti vengono forniti durante il corso.

Prerequisiti

Distribuzioni statistiche notevoli. Trasformazioni di variabili e vettori aleatori. Risultati inerenti al campionamento da popolazione normale. Nozioni di base sulla convergenza di successioni di variabili aleatorie.

Tali temi sono oggetto del precorso omogeneizzante che è fortemente consigliato.

Course Objectives

The course is designed to provide an in-depth knowledge of the main aspects of statistical inference (point estimation and hypothesis testing), both from a conceptual and from a technical point of view.

Optimality principles are discussed for the main procedures, based on the properties of sufficiency, completeness, and ancillarity of statistics and based on the likelihood principle. The implications of such concepts are analyzed both within the finite sample case and in the asymptotic setting.

Principles and techniques discussed in the course are relevant to the development and analysis of statistical models in many areas (e.g., in the linear model and its generalizations).

Course Content Summary

• Properties and results for random variables.
• Sufficient, ancillary, and complete statistics.
• Point estimation: method of moments and method of maximum likelihood. Comparison among estimators and optimality results (Mean Squared Error, Uniform Minimum Variance Estimators, Fisher’s information, Loss function).
• Hypothesis testing: criteria and construction of optimal tests within the Neyman-Pearson framework (power of tests). Tests based on the likelihood ratio. The role of the p-value and of tests of significance.
• Asymptotic considerations: consistent and asymptotically efficient estimators. Likelihood-based asymptotic tests and confidence intervals.
• Introduction to Bayesian inference and comparison to the classical framework.

Detailed Description of Assessment Methods

A written general exam or two partial written exams (one in the middle and one at the end of the course).

Textbooks

• N. MUKHOPADHYAY, Probability and Statistical Inference, Dekker-CRC Press, 2000

Further detailed information is provided during the course.

Prerequisites

Standard families of distributions. Transformations of random variables and vectors. Results on sampling from the normal distribution. Concepts of convergence for sequences of random variables.

These topics are dealt with in the preparatory course, which is held at the very beginning of September. Attendance is strongly recommended.